Иррациональные числа

Иррациональные числа были открыты в пифагорейской школе при попытке соизмерить диагональ квадрата с его стороной. Пифагорейцы приписывали числам божественную силу, а пифагорейская система знаний состояла из четырех разделов: арифметики (науки о числах), геометрии (учении о фигурах и их измерении), музыки (учении о гармонии) и астрономии (учении о строении Вселенной, которую они называли словом "космос"). Свой закон – "все есть число", Пифагор и его ученики распространяли повсюду, где это было возможно, в том числе и на строение Вселенной, но оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 (квадрат ее длины, по теореме Пифагора, равен 2) не выражалась отношением чисел (т. е. дробью).

Иррациональные числа были открыты в пифагорейской школе при попытке соизмерить диагональ квадрата с его стороной

Квадратный корень из двух – это иррациональное число. С этим числом связано открытие так называемых "несоизмеримых отрезков" и история наиболее драматичного периода в античной математике, который привел к разработке теории иррациональностей и иррациональных чисел. Вслед за этой иррациональностью были открыты многие другие иррациональности. Так, Теодор из Кирены установил иррациональность квадратного корня из чисел 3, 5, 6, ..., 17, а Теэтет (начало 4 в. до н. э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей. Существует легенда, что один из учеников Пифагора Гиппас забавлялся с числом "корень квадратный из двух", пытаясь как раз найти ему эквивалент из простой дроби. Гиппас внезапно понял, что такого эквивалента не существует. Иррациональные числа разрушали учение Пифагора о гармонии мира, а значит и сам Пифагор потерял смысл существования. За это Пифагор приговорил своего ученика к смерти через утопление.

Иррациональные числа существенно повлияли на дальнейшее развитие математики и философии. Оказался ложным основной принцип пифагорейцев: "все есть число" (имеется ввиду натуральное число).

В отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т. е. нерациональными, правда, первоначально термины "рациональный" и "иррациональный" относились не к числам, а к соизмеримым и, соответственно, несоизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми. Теодор Киренский, учитель Платона, называл эти числа симметричными и ассимметричными. В 5–6 вв. римские авторы Марциан Капелла, автор популярной в Средние века энциклопедии семи свободных искусств, и Магн Аврелий Кассиодор (487–578(5)) переводили эти термины на латынь словами "rationalis" и "irrationalis". Греки называли иррациональную величину (например, корень квадратный из двух) словом "алогос" – невыразимое словами.

Термин "иррациональный" впервые появился в середине 12 в., его ввел Герард Кремонский – известный переводчик математических произведений с арабского на латынь; затем его стал использовать итальянский математик Леонардо Фибоначчи, и спустя некоторое время термин стал популярен у других европейских математиков, вплоть до 18 в. Но нужды войны заставили человечество учиться решать алгебраические уравнения в степени выше первой. В Европе в 16 в. такие ученые как итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин, считали иррациональные числа равноправными с числами рациональными. Только во второй половине 19 в. немецкий ученый Рихард Дедекинд (1831–1916) дал одну из строгих теорий иррациональных чисел.

Поскольку иррациональные числа нельзя записать в виде конечного числа, то приходится ставить знаки "приближенно равно" или многоточия и ограничиваться некоторым необходимым числом десятичных знаков.

Инструменты