Комплексные числа

Издревле все числа считались действительными. Все потому, что в первую очередь людей интересовали натуральные числа. Новые, комплексные числа, в то время не могли быть и на мысли; даже отрицательные числа тогда считались ложными. В 16 в., в связи с изучением кубических уравнений, ученым понадобилось извлекать квадратные корни из отрицательных чисел – под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Джероламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Кардано называл такие величины "чисто отрицательными", считал их бесполезными и старался не употреблять. Лейбниц называл комплексные числа "уродом из мира идей". И действительно: с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни само изменение. В 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли "Алгебра", в которой были установлены первые правила арифметических операций над подобными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Лейбниц называл комплексные числа уродом из мира идей

Со временем комплексные числа утратили свою сверхъестественность, хотя полное их признание произошло только в 19 столетии. Термин "мнимые числа" ввел в 1637 г. французский математик и философ Рене Декарт, а в 1777 г. Леонард Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения мнимого числа (мнимой единицы).

Таким образом, около 1800 г. изобретение Кардано и Бомбелли стало новым типом чиста – числа i, квадрат которого равен -1. Термин "комплексные числа" был введен Гауссом в 1831 г., а в конце 18 – начале 19 в. было дано геометрическое истолкование комплексных чисел. Для этого использовалась система координат, введенная Декартом. Комплексные числа оставались для математиков лишь предметом отвлеченных манипуляций вплоть до 19 в., пока землемер Каспер Вессель (1745–1818) из Дании впервые не дал геометрическое представление о комплексных числах. Затем швейцарский математик Жан Арган дал геометрическую интерпретацию комплексного числа на плоскости (1806) и ввел термин модуль комплексного числа. Карл Гаусс первый предложил изображать комплексное число z = а + i*b точкой М(а, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а в виде вектора ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами а и b но так же длиной r и углом ф, который он образует с положительным направлением оси абсцисс: z = r*(соsф +i*sinф), где z - так называемая тригонометрическая форма комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z. Число ф называют аргументом z.

Важное соотношение для комплексных чисел получил английский математик А. Муавр. Он вывел правила возведения в степень и извлечения корня n-й степени из комплексных чисел, которые широко применяются в тригонометрии (формулы Муавра).

Комплексные числа могут показаться странными, но они оказываются волшебным средством для понимания физики. Проблемы тепла, света, звука, колебания, упругости, гравитации, магнетизма, электричества и течения жидкости – все отступают перед этим комплексным оружием в двух измерениях.

Инструменты