Комплексні числа
З давніх-давен всі числа вважалися дійсними. Все тому, що насамперед людей цікавили натуральні числа. Нові, комплексні числа, на той час не могли бути і на думці; навіть від'ємні числа тоді вважалися хибними. У 16 ст, у зв'язку з вивченням кубічних рівнянь, ученим знадобилося добувати квадратні корні з від'ємних чисел – під знаком квадратного кореня виявлялося від'ємне число. Виходило, що шлях до цього корня веде через неможливу операцію добування квадратного кореня з від'ємного числа. Джероламо Кардано 1545 р. запропонував запровадити числа нової природи. Кардано називав такі величини "чисто від'ємними", вважав їх марними і намагався не вживати. Лейбніц називав комплексні числа "виродком зі світу ідей". І справді: за допомогою таких чисел не можна висловити ні результат вимірювання якоїсь величини, ні саму змінну. У 1572 р. вийшла книга італійського алгебраїста Р. Бомбеллі "Алгебра", в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над подібними числами, аж до добуванняння з них кубічного корня.
Згодом комплексні числа втратили свою надприродність, хоча повне їх визнання відбулося лише в 19 столітті. Термін "уявні числа" ввів у 1637 р. французький математик і філософ Рене Декарт, а в 1777 р. Леонард Ейлер запропонував використовувати першу літеру французького слова imaginaire (уявний) для позначення уявного числа (уявної одиниці).
Таким чином, близько 1800р. винахід Кардано і Бомбеллі став новим типом чиста - числа i, квадрат якого дорівнює -1. Термін "комплексні числа" запроваджено Гауссом в 1831 р., а на кінці 18 – початку 19 ст. було дано геометричне тлумачення комплексних чисел. Для цього використовувалася система координат, введена Декартом. Комплексні числа залишалися для математиків лише предметом абстрактних маніпуляцій аж до 19 ст., поки землемір Каспер Вессель (1745-1818) з Данії вперше не дав геометричне уявлення про комплексні числа. Потім швейцарський математик Жан Арган дав геометричну інтерпретацію комплексного числа на площині (1806) і ввів термін модуль комплексного числа. Карл Гаус перший запропонував зображати комплексне число z = а + i*b точкою М(а, b) на координатній площині. Пізніше виявилося, що зручніше зображати число не самої точки M, а у вигляді вектора ОМ, що напрямлений в цю точку з початку координат. При такому тлумаченні додавання та віднімання комплексних чисел відповідають ці ж операції над векторами. Вектор можна задавати не тільки його координатами а та b але так само довжиною r та кутом ф, який він утворює з додатнім напрямом осі абсцис: z = r*(соsф +i*sinф), де z - так звана тригонометрична форма комплексного числа. Число r називають модулем комплексного числа z. Число ф називають аргументом z.
Важливе співвідношення для комплексних чисел отримав англійський математик А. Муавр. Він вивів правила зведення в степінь і добування кореня n-го степеня з комплексних чисел, які широко застосовуються в тригонометрії (формули Муавра).
Комплексні числа можуть здатися дивними, але вони виявляються чарівним засобом розуміння фізики. Проблеми тепла, світла, звуку, коливання, пружності, гравітації, магнетизму, електрики та течії рідини – всі відступають перед цією комплексною зброєю у двох вимірах.
