О комбинаторике

О комбинаторике как науке стали говорить в 18 в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. С подобными задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, наилучшее положение охотников во время охоты, воинов во время битвы, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху. Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Дипломаты стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например на различных перестановках букв и т. д.

О комбинаторике как науке стали говорить в 18 в. параллельно с возникновением теории вероятностей

Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во 2 в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетаниями". В 12 в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали сочетания в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха, и поэтических произведениях. 2200 лет назад великий древнегреческий математик Архимед написал трактат под названием "Стомахион". Ученые считают, что этот трактат был посвящен, ни много ни мало, как комбинаторике, т. е. науке, о которой, как считалось ранее, древнегреческие ученые ничего еще не знали. Основной целью комбинаторики является изучение различных комбинаций для решения той или иной задачи. И обнаружение числа путей, которыми может быть решена проблема, изложенная в "Стомахионе", оказалось столь непростым, что ученые вынуждены были проверить это решение современными средствами. На это потребовалось шесть недель(!).

Как научная дисциплина комбинаторика сформировалась в 17 в. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано (1501–1576), Н. Тарталье (1499–1557), Г. Галилею (1564–1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). В это время французский математик Пьер Эригон получает формулу для числа сочетаний из п элементов по т (без повторений). Французский автор А. Такке посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу в книге "Теория и практика арифметики" (1656).

Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее и широкое применение. После опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", стал употребляться термин "комбинаторика". В этой книге впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Но этим вклад Лейбница не ограничивается: ученый вводит специальные символы и термины для этой новой области математики, находит все k-сочетания из n-элементов, выводит свойства сочетаний, строит таблицы сочетаний, после чего рассуждает о приложении комбинаторики к логике, арифметике, и даже к проблемам стихосложения. Современная символика сочетаний (сочетания, размещения, перестановки: Сnk, Аnk, Рn) была предложена разными авторами учебных руководств только в 19 в.

В современном обществе с развитием вычислительной техники о комбинаторике заговорили по-новому. Современное прикладное значение комбинаторики можно видеть во многих областях. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов. На комбинаторике основывается теория игр, применяющаяся и для создания современных "разумных" систем наведения и слежения. Именно комбинаторными методами оценивается устойчивость ко взлому систем шифрования и аутентификации как в Интернете, так и в военных разработках. С комбинаторикой имеет общие задачи теория вероятности, а также статистика и базирующиеся на ней социальные науки. В современной комбинаторике и по сей день делаются новые открытия.

Инструменты