Про комбінаторику

Про комбінаторику як науку почали говорити у 18 ст. паралельно з виникненням теорії ймовірностей, тому що для вирішення ймовірнісних завдань необхідно було підрахувати кількість різних комбінацій елементів. З подібними завданнями, в яких доводилося обирати ті чи інші предмети, найкраще становище мисливців під час полювання, воїнів під час битви люди зіткнулися ще в доісторичну епоху. Згодом з'явилися різні ігри (нарди, карти, шашки, шахи тощо). У кожній із цих ігор доводилося розглядати різні поєднання фігур, і вигравав той, хто їх краще вивчив, знав виграшні комбінації та вмів уникати програшних. Дипломати почали застосовувати шифри, засновані на комбінаторних принципах, наприклад, на різних перестановках літер тощо.

Деякі елементи комбінаторики були відомі в Індії ще у 2 ст. до н. е. Індійці вміли обчислювати числа, які зараз називають поєднаннями. У 12 ст. Бхаскара обчислював деякі види поєднань та перестановок. Припускають, що індійські вчені вивчали поєднання у зв'язку із застосуванням їх у поетиці, науці про структуру вірша та поетичних творах. 2200 років тому великий давньогрецький математик Архімед написав трактат під назвою "Стомахіон". Вчені вважають, що цей трактат був присвячений, не мало не багато, як комбінаториці, тобто науці, про яку, як вважалося раніше, давньогрецькі вчені нічого ще не знали. Основною метою комбінаторики є вивчення різних комбінацій на вирішення тієї чи іншої задачі. І виявлення кількості шляхів, якими може бути вирішена проблема, викладена в "Стомахіоні", виявилося настільки непростим, що вчені змушені були перевірити це рішення сучасними засобами. На це знадобилося шість тижнів(!).

Як наукова дисципліна комбінаторика сформувалася у 17 ст. Перші наукові дослідження з комбінаторики належать італійським ученим Дж. Кардано (1501–1576), М. Тартальє (1499–1557), Г. Галілею (1564–1642) та французьким ученим Б. Паскалю (1623–1662) та П. Ферма (1601–1665). У цей час французький математик П'єр Ерігон отримує формулу для числа поєднань із п елементів по т (без повторень). Французький автор А. Такке присвячує поєднанням та перестановкам цілий розділ у книзі "Теорія і практика арифметики" (1656).

Комбінаториці Лейбніц передрікав блискуче майбутнє та широке застосування. Після опублікування Лейбніцем в 1665 р. роботи "Міркування про комбінаторне мистецтво", став вживатися термін "комбінаторика". У цій книзі вперше дано наукове обґрунтування теорії поєднань та перестановок. Але цим внесок Лейбніца не обмежується: вчений запроваджує спеціальні символи та терміни для цієї нової галузі математики, знаходить усі k-поєднання з n-елементів, виводить властивості поєднань, будує таблиці поєднань. Після чого міркує про приєднання комбінаторики до логіки, арифметики, і навіть до проблем віршування. Сучасна символіка поєднань (поєднання, розміщення, перестановки: С_n^k, А_n^k, Р_n) була запропонована різними авторами навчальних посібників лише у 19 ст.

У суспільстві з розвитком обчислювальної техніки про комбінаторику заговорили по-новому. Сучасне прикладне значення комбінаторики можна побачити у багатьох областях. В даний час до освітнього стандарту з математики включені основи комбінаторики, вирішення комбінаторних завдань методом перебору, складанням дерева варіантів. На комбінаториці ґрунтується теорія ігор, що застосовується і для створення сучасних "розумних" систем наведення та стеження. Саме комбінаторними методами оцінюється стійкість до злому систем шифрування та аутентифікації як у Інтернеті, так і у військових розробках. З комбінаторикою має загальні завдання теорія ймовірності, а також статистика та соціальні науки, що базуються на ній. У сучасній комбінаториці й досі робляться нові відкриття.