Пифагоровы треугольники

Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников особый интерес всегда вызывали так называемые "пифагоровы треугольники", стороны которых являются целыми числами. Несомненно, "пифагоровы треугольники" относятся к разряду "сокровищ геометрии", а поиски их представляют одну из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он назывался также "священным" или "египетским", так как широко использовался в египетской культуре.

Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников особый интерес всегда вызывали так называемые пифагоровы треугольники

Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при умножении x, y и z на одно и то же натуральное число получатся другие пифагоровы треугольники. Пифагорова тройка (x, y, z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x, y и z являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель (x, y, z) равен числу один. Чем больше примитивные пифагоровы тройки, тем больше пифагоровы треугольники с их длинами приближаются к равнобедренному треугольнику. Отсюда следует, что бесконечно большая примитивная пифагорова тройка является сторонами бесконечно большого равнобедренного треугольника.

Для "египетского" треугольника теорема Пифагора принимает следующий числовой вид: 4² + 3² = 5². После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все "пифагоровы треугольники" – тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольного треугольника. Какие-то общие методы поиска таких троек чисел, например упомянутых выше (3, 4, 5) или (5, 12, 13), были известны еще вавилонянам. Одна из клинописных табличек содержит "пифагоровы треугольники", состоящие с 15 троек. Среди них есть состоящие из настолько больших чисел, что не может быть и речи о нахождении их путем подбора.

Инструменты