Піфагорові трикутники

Серед нескінченної кількості можливих прямокутних трикутників особливий інтерес завжди викликали так звані "піфагорові трикутники", сторони яких є цілими числами. Безсумнівно, "піфагорові трикутники" відносяться до розряду "скарбів геометрії", а пошуки їх є однією з найцікавіших сторінок історія математики. Найбільш широко відомим є прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4 і 5. Він називався також "священним" чи "єгипетським", оскільки широко використовувався в єгипетської культурі.

Оскільки рівняння x² + y² = z² однорідне, при множенні x, y та z на те саме натуральне число вийдуть інші піфагорові трикутники. Піфагорова трійка (x, y, z) називається примітивною, якщо вона не може бути отримана таким способом з якоїсь іншої піфагорової трійки, тобто, x, y та z є взаємно простими числами. Іншими словами, найбільший спільний дільник (x, y, z) дорівнює числу один. Чим більші примітивні піфагорові трійки, тим більше піфагорові трикутники з їх довжинами наближаються до рівнобедреного трикутника. Звідси випливає, що велика примітивна піфагорова трійка є сторонами нескінченно великого рівнобедреного трикутника.

Для "єгипетського" трикутника теорема Піфагора набуває наступного числового вигляду: 4² + 3² = 5². Після того, як була відкрита теорема Піфагора, постало питання, як знайти всі "піфагорові трикутники" - трійки натуральних чисел, які можуть бути сторонами прямокутного трикутника. Якісь загальні методи пошуку таких трійок чисел, наприклад, згаданих вище (3, 4, 5) або (5, 12, 13), були відомі ще вавилонянам. Одна з клинописних табличок містить "піфагорові трикутники", що складаються з 15 трійок. Серед них є такі великі цифри, що не можуть бути й мови про знаходження їх шляхом підбору.