Архимед и объём шара

Величайший учёный Древнего мира – Архимед (ок. 287–212 до н. э.) общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен, а имя овеяно легендами. Именно Архимед придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам и вплотную подошёл к понятию определённого интеграла, опередив человечество почти на два тысячелетия. Архимеду принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности на все времена.

Величайший учёный Древнего мира – Архимед (ок. 287–212 до н. э.) общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества

Архимед первый дерзнул исчислить размеры окружающего нас мира. Он определил границы для числа π, доказав, что: 3 10/71 < π < 3 1/7. Но более всего Архимед гордился найденной им формулой, с помощью которой можно найти объём шара, и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.

Следуя идеям Архимеда, можно доказать тот результат, который доставил ему высшую творческую радость. Например, докажем теорему: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объём цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен πR2H и объём конуса с радиусом основания R и высотой H равен 1/3 πR2H. Последнюю формулу также нашел Архимед. Давайте, перейдём к доказательству. Для этого нужно вспомнить детские игрушки, которые называют пирамидками. Вспомним их устройство: имеется подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера, но сделанные из одинакового материала. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.

По Архимеду доказательство теоремы очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну – коническую, а три разных – цилиндрическую, когда тоненькие колечки будут иметь радиус 1, и если их собрать вместе, то они образуют цилиндр высоты 1, коническую – из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать конус радиуса основания 1, и полушаровую, собрав из колечек полушар радиуса 1.

А теперь возьмём аптекарские весы с плоскими чашами и, как Архимед, поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую – конус и полушар, причём конус поставим основанием на чашу весов, а полушар – "на голову", чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально.

Пусть высоты колечек одинаковы и равны δ, где δ – очень малое число. Подсчитаем, каков объём колечек, находящихся на одной и той же высоте h. У цилиндрического колечка этот объём равен πδ, у конического π(1 - h)2δ, а у полушарового колечка π(1 - (1 - h)2 (ибо радиус колечка у конуса равен 1 - h, а у полушара, по теореме Пифагора, он равен (1 - (1 - h)2)1/2.

Суммарный объём на каждой из чаш весов оказался одинаковым. Но если δ очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая – от полушара, а цилиндрическая – всегда цилиндр.

В пределе получаем, что объём полушара радиуса 1 равен объёму цилиндра с радиусом основания и высотой 1, минус объём конуса с радиусом основания и высотой 1. Откуда и следует доказательство теоремы Архимеда: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π.

Инструменты