Архімед і об'єм кулі
Найбільший вчений Стародавнього світу – Архімед (прибл. 287–212 р. до н. е.) загальновизнано вважається одним із найбільших геніїв в історії людства. Його внесок у математику величезний, а ім'я овіяне легендами. Саме Архімед придумав формулу для визначення площі трикутника за його сторонами і впритул підійшов до поняття означеного інтеграла, випередивши людство майже на два тисячоліття. Архімеду належать точні формулювання законів природи, що збереглися недоторканністю на всі часи.
Архімед перший наважився обчислити розміри навколишнього світу. Він визначив межі для числа π, довівши, що: 3 10/71 < π <3 1/7. Але найбільше Архімед пишався знайденою ним формулою, за допомогою якої можна знайти об'єм кулі, і на згадку про це нащадки зобразили кулю і циліндр на його могильному камені.
Дотримуючись ідей Архімеда, можна довести той результат, який приніс йому найвищу творчу радість. Наприклад, доведемо теорему: обєм кулі радіуса 1 дорівнює 4/3 π.
Доведення. Ми спиратимемося на наступні дві формули стереометрії: об'єм циліндра з радіусом основи R і висотою H дорівнює πR2H та об'єм конуса з радіусом основи R та висотою H дорівнює 1/3 πR2H. Останню формулу також знайшов Архімед. Давайте перейдемо до доведення. Для цього слід згадати дитячі іграшки, які називають пірамідками. Згадаймо їх будову: є підставка з вертикальною паличкою та набір кілець різного розміру, але які зроблені з однакового матеріалу. Потрібно нанизати ці кільця на паличку так, щоб розміри кільців збільшувалися в міру наближення до підставки. Тоді вийде фігура, схожа на конус.
За Архімедом доведення теореми дуже легко зрозуміти за допомогою подібних іграшок. Тільки треба зробити не одну – конічну, а три різних – циліндричну, коли тоненькі кільця матимуть радіус 1, і якщо їх зібрати разом, то вони утворюють циліндр висотою 1, конічну – з таких самих тоненьких кілець, але різних радіусів, з яких можна зібрати конус радіусу основи 1, і півкульову, зібравши з кілець півкулі радіуса 1.
А тепер візьмемо аптекарські ваги з плоскими чашами і, як Архімед, поставимо на одну чашу зібрану з кілець іграшку-циліндр, а на іншу – конус і півкулю, причому конус поставимо основою на чашу терезів, а півкуля – "на голову", щоб плоска основа півкулі була зверху і розташована горизонтально.
Нехай висоти кілець однакові і рівні δ, де δ – дуже мале число. Підрахуємо, який об'єм кілець, що знаходяться на одній і тій же висоті h. У циліндричного кільця цей об'єм дорівнює πδ, у конічного π(1 - h)2δ, а у півкульового кільця π(1 - (1 - h)2)δ (бо радіус кільця у конуса дорівнює 1 - h, а у півкулі, по теоремі Піфагора він дорівнює (1 - (1 - h)2)1/2.
Сумарний об'єм кожної з чаш ваг виявився однаковим. Але якщо δ дуже мале, то конічна іграшка буде майже невідмінна від конуса, півкульова - від півкулі, а циліндрична - завжди циліндр.
В границі отримуємо, що обсяг півкулі радіусу 1 дорівнює обсягу циліндра з радіусом основи і висотою 1, мінус обсяг конуса з радіусом основи і висотою 1. Звідки і випливає доказ теореми Архімеда: обсяг кулі радіусу 1 дорівнює 4/3π.
