Системы счисления

Системы счисления – это совокупности приемов записи и наименования чисел, которые записываются с помощью символов, по количеству которых системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные. Непозиционные для записи числа используют бесконечное множество символов. Например, римская система счисления, в которой для записи числа один используется буква I, два и три выглядят как совокупности символов II, III, но для записи пять выбирается новый символ V, шесть – VI, десять – вводится символ X, сто – С, тысяча – М и т.д.

Позиционные системы счисления для записи чисел используют ограниченный набор символов, называемых цифрами, и величина числа зависит не только от набора цифр, но и от того, в какой последовательности записаны цифры, т.е. от их позиции. Количество цифр, используемых для записи числа, называется основанием системы счисления, которое обозначим q. Например, в десятичной системе счисления, q = 10, т.е. используется 10 цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Числа от 0 до 9 записываются цифрами, для записи следующего числа цифры не существует, поэтому вместо 9 пишут 0, но левее нуля образуется еще один разряд, называемый старшим, где записывается (прибавляется) 1, в результате получается 10. Затем пойдут 11, 12, но на 19 опять младший разряд снова заменяется на 0, а старший разряд увеличивается на 1, в итоге получается 20 и т. д.

Число в позиционной системе счисления с основанием q может быть представлено в виде полинома по степеням q:

Здесь X_(q) – запись числа в системе счисления с основанием q; x_i – натуральные числа меньше q, т.е. цифры; n – число разрядов целой части; m – число разрядов дробной части.

Записывая слева направо цифры числа, мы получим закодированную запись в q-ичной системе счисления:

Но запись числа в двоичной системе длиннее записи того же числа в десятичной системе примерно в 3,3 раза. Это не удобно для использования, так как обычно человек может одновременно воспринять не более пяти-семи единиц информации. Поэтому в информатике применяются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Восьмеричная система счисления имеет восемь цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7. Шестнадцатеричная – шестнадцать, причем первые 10 цифр совпадают по написанию с цифрами десятичной системы, а для обозначения оставшихся шести цифр применяются большие латинские буквы: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В С D Е F.