Совершенные числа

Совершенные числа равны сумме своих делителей, отличных от самых чисел, например 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Самое маленькое совершенное число: 6 = 1 + 2 + 3. Совершенные числа растут поразительно, скажем, 6-е по счету мерится уже миллиардами (8589869056). На сегодняшний день известно самое большое, 31-е по счету, совершенное число (2216091 – 1) * 2216090. Оно получено благодаря открытию в сентябре 1985 г. математиком Марсенном числа (2216091 – 1), которое в настоящее время известно как 2-е самое большое простое число. Многим поколениям математиков совершенные числа не дают покоя. Например, все обнаруженные до сих пор совершенные числа – четные; бесконечна ли последовательность таких чисел – неизвестно. И уж совсем неприступной оказалась проблема совершенных нечетных чисел.

Совершенные числа равны сумме своих делителей, отличных от самых чисел

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.

Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: 13 + 33 + 53 + .... Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его самого), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям. Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76. Остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Особенный характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, - утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Инструменты