Задачи на построение

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности

Самые первые задачи на построение, по-видимому, решались непосредственно на местности и заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде "практических правил", исходя из наглядных соображений. Именно они и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

Однако практические правила первых землемеров, архитекторов, астрономов еще не составляли настоящей геометрии как дедуктивной науки, основанной на теоретических построениях и доказательствах. Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.

Первым греческим ученым, который рассматривал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольника, определили расстояние, недоступное для непосредственного измерения – от берега до корабля в море. Это он вычислил и высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Задачи на построение интересовали и Пифагора. Пифагор и его ученики потратили много сил, чтобы отдельным геометрическим сведениям, состоящим до того времени из набора интуитивных правил, придать характер настоящей науки, основанной на логических умозрительных доказательствах. Особенно сильно задачи на построение интересовали Платона, основателя знаменитой "Академии" в Афинах. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.

Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. Эти задачи следующие:

  1. Первая задача. Задача об удвоении куба. Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в два раза больше данного куба.
  2. Вторая задача. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части.
  3. Третья задача. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу.

Эти три задачи на построение и носят название "знаменитых геометрических задач древности".

Большую роль задачи на построение играют в "Началах" Эвклида (3 в. до н. э.), где существование фигур доказывается их построением при помощи циркуля и линейки. В "Началах" Эвклида находятся почти все задачи на построение, которые изучаются в настоящее время в школе.

Инструменты